量子分形：Hofstadter Butterfly

水风道人

分形通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形思想的根源可以追溯到公元17世纪，而对分形使用严格的数学处理则始于一个世纪后卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔和费利克斯·豪斯多夫对连续而不可微函数的研究。但是分形（fractal）一词直到1975年才由本华·曼德博创造出，来自拉丁文 frāctus，有“零碎”、“破裂”之意。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。(from wiki)
我从拉丁文形容词 fractus（分裂的）造出了 fractal（分形）这个词。相应的拉丁文动词fragere 的意义是“使碎裂”：造成不规则的碎片。……多么符合我们的需要啊！这样，除了“分裂的”（像在“分数”或“折射”中那样），fracus 还应该有“不规则的”之意，这两个意义都继承保留了下来。
——伯诺瓦•曼德布罗特
几个分形的例子：
1.Koch snowflake

2. Pythagoras tree

Hofstadter Butterfly
1976年，Douglas Hofstadter在研究Bloch电子在外磁场作用下的量子现象时发现电子的能量和磁场强度可形成分形图像。

• 朗道能级
  

1930年Landau研究了自由电子在外磁场下的运动。他求解了外加磁场下的薛定谔方程并得到了分立的电子能级（朗道能级）。假设外加磁场为均匀磁场并且沿z方向 ，，可取规范势（Landau能级的简并度与规范选择无关，这里沿用朗道本人的取法）得到薛定谔方程：
选择本征态的形式可得到类似一维谐振子的形式

可得到能量本征值

2. Harper's Equation
1955年Harper用Tight binding model研究了二维方格子的电子气在磁场下的运动，并得到了Harper's Equation。


When b=p/q, where p, q are coprimes, each LL splits into q sub-bands that are p-fold degenerate。两种竞争的周期：晶格周期性和磁场周期性。
Hofstadter计算并得到了能带的分形结构，当磁长和晶胞长度相当的时候（很强的磁场）。这也是首次预言了量子世界里面的分形现象，因为分形在经典系统比如流体力学中其实十分常见。后Hofstadter butterfly fractal在石墨烯和其相关异质节（Moire Pattern）中被实验所验证。非常漂亮的工作，不仅是科学，更是一种艺术。

蝴蝶是这样来的：

水风道人

自然界有着自己的亘古不变的运行规律，春夏秋冬、花开花落，西方文明长久以来一直以一种决定论和机械论的观点来看待这个世界，在牛顿时代，拉普拉斯曾设想有一个小妖，只要将宇宙中任何一个物体当前的参数告诉它，它就能够知道关于这个物体在过去和未来任何时候的状况。但是自普里戈金提出耗散结构理论以来，人们终于认识到，自然有时是有序的，但有时又是混沌的，从混沌到有序是一个随机的过程，自然界没有什么决定因素。
随机性对于科学家是个噩梦，谁都不喜欢这个概念。让我们想想，自然的进化规则如果和赌博机的原理一样，科学家不就成了赌徒了吗？爱因斯坦面对量子理论的不确定性原理严正的指出：上帝不会掷骰子。但是，后来的事实证明，他错了。
要把科学家从随机性的噩梦中解救出来，我们必须要先引入一个新的概念：分形。
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化，这种变化可以认为是一种随机的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同。这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层、星系等等，事实上，现在人们可以利用分形函数在电脑上制作出与自然景观极为相似的图片。

利用分形函数制作的花朵
我们可以发现，海岸线的随机蜿蜒曲折的变化，其实可以用一种确定的数学函数来描述，也就是说，随机性并不是不可捉摸的！曼德布罗特在《分形——自然的几何学》中介绍说，有一种描述真实世界随机分形的模式叫做凝聚扩散（DLA）随机生成形式。可以产生像树一样的令人迷惑的错综复杂的形态。为看到它是如何形成的，我们取一非常大的国际象棋棋盘，在棋盘中心置一皇后，她是不允许移动的。兵，允许它在棋盘上四个方向中的任何一个方向移动，从棋盘边缘上的随便什么起始点起步，按指示完成随机的，或醉酒者那样的走步。每一步的方向是从四个相等几率的方向中选定的。当一个兵到达紧靠原始皇后的一个方格，它自己就变成新的皇后，也就不能进一步移动了。最终，一个树枝状的，而不是网状的皇后群体逐渐形成，被称为“威顿-桑特DLA族”。完全没有料到，大规模计算机模拟已经证明DLA族是分形；它们差不多是自相似的。它的很少的部分和很大的部分被缩小以后的形式极其相似。

海岸线就是自然界的分形图
DLA能模拟灰烬的形成，水在岩石中的渗漏，固体裂纹的扩展和闪电的迸发。模拟液体湍流、天气、或昆虫群体的动力学方程式是非线性的，具有典型的决定论混沌性质。但如果对这些方程做迭代——检验它们在超长时间演变时的解——我们发现，许多数学性质，特别是在做计算图示时，显示了其自身是自相似的。
荷兰有位视觉艺术师叫Julius Horsthuis，他利用分形函数在电脑出制作了许多大型、精美的实景图像。他开玩笑的说，他是个“懒惰的动画师”，因为利用这种技术，他可以直接“制造整个世界”，而不用再依靠手工来绘制。

分形软件作品
我们有理由相信，分形函数就是这个宇宙生成的基本形式。那么，具体的机理是怎样的呢？
当我们说到分形的时候，头脑里往往设想出一个复杂的数学表达式。然而，所谓的分形，只不过是一种简单的迭代过程。计算机通过这种简单和重复的迭代过程，就可以在我们的屏幕中产生和我们现实世界几乎相同的景物，如山川、河流、树木、白云、星系等等。我们的真如具有无限的潜能和无限的维度，比一台PC机不知强多少亿万倍，我们现象界的所有景物，不正是真如运行分形函数的结果吗？最近的一些研究表明，不仅是具体的三维空间的景物存在分形结构，在人类生活的各个领域都存在着分形结构，比如股市和资本市场的波动、公共组织机构、古时的朝代更替、气候演变，以至于音乐也与分形结构有着密切的关系。当我们审视这一切现象的时候，我们会发现，人、自然、社会之间的关系是如此相关和密切，中国道家天人合一的思想是有着深刻的内涵的。而我们通过对这些现象的审视，更是可以合理的得出结论：分形结构就是囊括宇宙间一切现象的基本结构，而分形结构形成的原因就是人类无明分别识不断执著幻象进而产生迭代的结果！
由于我们的无明，产生了分别识，分别识产生幻象。产生的幻象继续无明分别产生新的幻象，所有的幻象都重复着同样的迭代过程。这样，通过不断的迭代过程，就会形成我们目前的这个现象世界。由于真如本体所具有的无限能量，这个过程是在瞬间完成的。就像如果我们PC的处理器足够强，我们也能瞬间看到由计算机生成的复杂分形图案。目前的宇宙暴涨理论，正是认为我们的宇宙从爆炸的一刹那间，在远远小于1秒钟的时间里增大了100万亿亿亿（1的后面跟30个0）倍。
分形函数最大的特点就是能产生自相似结构。这种自相似结构，如果从信息的角度来描述的话，即是每一个子结构中都包含有整体结构所需的所有信息。而这正是“部分包含整体”的全息论的精华。至此，我们可以很自然的得出结论，我们在现实世界中所看到的一切全息现象，其实就是分形函数的自相似结构。而这种自相似结构形成的原因，正是我们无始以来的一念无明，进而分别妄想，产生迭代，形成了这个虚妄的现实世界。
如果我们理解了简单的迭代过程就可以产生复杂分形结构的机理，我们再回过头来看看中国上古传承的一些典籍以及道家思想的一些记述，也许就会有恍然大悟的感觉。《周易·系辞》中说：“是故易有太极，是生两仪。两仪生四象。四象生八卦。”老子的道德经中有同样的语言：“道生一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴而抱阳，冲气以为和。”这些不正是简单迭代进而产生复杂分形结构的生动阐述吗？从中我们可以看出，当中国的先哲们写下这些简单的语句时，他们并不是凭空的猜测，而是的确有着深刻的领悟。中国天人合一的思想源于先哲们对世界和人自身的深刻洞察，现代人往往简单将这种思想归结为祖先的臆想。然而，当我们真正理解了古人的这种深刻思想时，才发现我们所谓的最新科学理论，先人们早已了然于胸。
在此应该指出的是，由真如本体产生的迭代过程与纯计算机的迭代过程并不完全相同。机器的迭代过程是机械的，它不会自动产生一个终点。图灵机的停机问题不可解，已由图灵本人、数学家哥德尔、物理学家彭罗斯从各个方面得到证明。然而真如的迭代过程始终有“自我意识”的参与，因此并不是随机的、机械的，而是具有明显的选择性和方向性。“自我意识”一开始可以选择现象界，但是一旦执著于现象界，那么“自我意识”执著的产物——色身，就会参与到现象世界。
选自《科学论道》，待续。