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伏羲八卦与八元数

李兴民1,彭立中
华南师范大学数学系,广东广州510631;2.北京大学数学科学学院数学系,北京100871

摘要 : 说明了 19 世纪西方人发明八元数的构造方法与我国古代邵雍( 1011 ~ 1077) 建立先天八卦的方 法是一致的 , 并在先天八卦与八元数的基 元之间建立了一种数学意义上的同构 .

关键词 : 伏羲八卦 ; 八元数 ; 同构 中图分类号 : B244  


1 引论
《周易》作为中国古代的一部重要典籍,对中国传统文化包括中国自然科学的形成和发展的影响是巨大的、无可比拟的。《周易》 的发生史可以追溯到新石器时代晚期 , 即传说中的伏羲时期 . 《周易》 是一本有符 号系统和文字系统共同构成的书 , 分为《易经》 、 《易传》 . 《易经》 是一本占筮之书 , 成书于西周 ( 约公元前 11 世纪 ~ 前 256) 前期 ; 《易传》 成书于战国( 公元前 475 ~ 前 221) 后期 , 是对《易经》 的解释和发展( 即所谓的“ 十翼”) . 《易传》 的最大特点就是将《易经》 人文化 : 从迷信转变为理 性 , 从巫术转变为哲学 .

收稿日期 : 2003 -11 -26 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目( 19631080) ; 广东省自然科学基金资助项目( 030497) ; 广州市教委基金( 232 ) 作者简介 : 李兴民( 1957 ) , 男 , 山东陵县人 , 博士 , 华南师范大学教授 . 研究方向 : 调和分析 、八元数分析 .

卦 , 即“ 易卦” , 是《易》 的符号体系 , 由阴爻 、阳爻组成 . 易卦分为八卦 、 六十四卦两种 . 卦 在《易经》 中主要用于占卜 , 后用以象征自然现象和人事变化 , 成为描述宇宙万物的模式符号 . 有关卦的起源 , 观点众多 . 取象说( 《周易·系辞下》) 认为 : “ 古者伏羲氏之王天下也 , 仰观象于 天 , 俯则观法于地 , 观鸟兽之文与地之宜 , 近取诸身 , 远取诸物 , 于是始作八卦” ; 据数说( 《周易 ·系辞上》) 认为 : “ 参天两地而倚数 , 观变于阴阳而立卦” ; 亦有河图洛书说( 《系辞传》) : “ 河出 图 , 洛出书 , 圣人则之” ; 还有大衍之数说( 《周易·系辞上》) 、 乾坤生六子说( 《周易·说卦》) 、太极 两仪说( 《系辞传》) 等其他若干说法 . 可以断定 : 易卦源于我国上古时代先民长期的伟大的生 活实践 , 是我国先贤的伟大创造 . 它有简洁 、对称 、优美的形式和“ 广大悉备 、无所不包” 的内 涵 , 是中华民族精神文明世界中的“ 金字塔” .

《易经》 既讲象又讲数 . 比如“ —” 、 “ -” 两个爻象 , 前者称“ 九” , 后者称“ 六” . 以数定象 并由象和数结合在一起来推断事物发展变化的趋势 . 数与形是数学研究的基本对象 . 从这一点上看 , 《易经》 是我国古代在人类数学史上的伟 大创举 , 可以说 ,《易经》是我国历史上有文字记载以来第一本数学著作 , 因而是我国数学发展 史的渊源 . 三国时期的数学家刘徽( 约 225 ~ 295) 认为 , 数学来源于伏羲画八卦 , 八卦的基本原 理是“ 作九九之术以合六爻之变” , 由此他“ 观阴阳之割裂 , 总算术之根源 ” , 而为《九章算术》 作 注. 刘徽创造的割圆术 , 即用圆内接正多边形的周长去逼近圆的周长 , 得到圆周率 3. 141 6 . 后 来的大数学家祖冲之( 420 ~ 500) 用同样的方法 , 得到 3. 141 592 6 . 宋代邵雍( 1011 ~ 1077) 提出先天学 , 创立了宋易中的数学派 . 八卦的排列方式共有 8 != 40 320种之多 . 六十四卦的排列方式更是大得惊人 . 宋代邵雍把无序的卦图改造成有序的排 列 , 将八卦按乾 、 兑 、离 、 震、 巽 、坎 、 亘、 坤次序排列 , 称之为伏羲八卦或先天八卦 , 其排列次序对 应于自然数中的 1 、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8; 将六十四卦按坤 、 剥 、比 、 观 ……坤依次排列 , 其次序对应于 自然数中的 1 、2 、 3 、…、 62 、 63 、 64 . 用“1” 代表“ 一” 和用“ 0” 代表“ -” , 则上述八卦的次序恰好 对应用二进制表示的 7 、6 、 5 、4 、 3、 2、 1、 0. 而上述六十四卦的次序恰好于用二进制表示的 63 、 62 、…、 3、 2、 1、 0[ 1] . 这样的排列是需要一定的数学基础的 . 我国自然科学方面有许多杰出的成就深受 《周易》 的影响 . 天文借象数显示星移斗转 , 地 理借象数标志分野坐标系统 , 历法 、物候借象数描述阴阳变化节律 , 针灸 、 气功借象数总结天人 统一节度 , 而音乐则借象数表征律吕损益法则 .

《周易》 在世界范围内对自然科学的影响也是巨大而深远的 . 莱布尼兹( G. W. Leibniz , 1646 ~ 1716 年) 是德国数学家 、物理学家 、 哲学家 . 莱布尼兹同牛顿并称为微积分的奠基者 . 1703 年 , 莱布尼兹在《皇家科学院记录》 发表论文 , 认为二进制和中国的“ 先天八卦”相吻合[ 2] . 前不久 , 王洪吉先生在文[ 3] 中把八卦的演绎过程类比于数系的扩张过程 , 并把太极 、 两 仪、 四象 、八卦分别对应于实数 、 复数 、四元数 、 八元数 . 王先生的这种说法非常新颖而耐人寻 味. 我们知道 , 实数 、 复数 、 四元数 、 八元数和一般的 1 、 2、 4 、8 维的线性空间的区别首先在于它 们含有代数运算 , 如果仅仅在“ 太极 、 两仪 、 四象 、八卦” 与“ 实数 、复数 、四元数 、 八元数” 之间作 形式上的 1 1 对应 , 而不涉及乘法运算 , 则这种对应没有本质意义 . 另外 , 在其 1 -1 对应的 过程中 , 如果我们随意交换八卦图的次序同样可以建立 1 1 对应 . 因此 , 这种对应就具有任 意性 .

 第 2 期 李兴民等 : 伏羲八卦与八元数    

3 本文旨在于伏羲八卦和八元数基元之间建立数学意义上的 “ 同构” , 即在两者之间建立 1 -1 对应 , 而且这种对应保持乘法运算 . 对应次序浑然天成且不能随意改变 . 《易经 》 中不设 十六卦和三十二卦 , 其六十四卦是由八卦“ 二二相藕” 而得 , 六十四卦方阵是一 8 ×8 矩阵 . 这 恰好和八元数基元的乘法矩阵相对应 . 朱熹提出 : “ 易只是个空底物事” . 冯友兰先生称 《周易》 为 “ 宇宙代数学” 为有限维的可除的交错代数的最大类 , 亦可以称之为“ 宇宙代数” .

《易学》 博大精深 , 古人“ 皓首” 尚且难以“ 穷经” , 况易学书籍层出不穷 . 作为数学工作者 , 我们对易学的理解还非常片面和浅薄 , 谬误之处 , 敬祈读者指正 . [ 4] . 而八元数作 2  关于八元数 实数域 R 上的有限维的交错的可除代数只有 4 种 Q. 它们具有关系 R C H 合的代数 , 而 Q 是既非交换又非结合的代数 . 四元数 H 是由英国数学家 、物理学家 William Rower Hamilton 1843 年发明的 . Hamilton 当时 的目的是想把复数理论推广到 3 维 , 历经 15 年 , 最后放弃乘法交换律而创立了四元数 .

四元 数在物理方面有广泛的应用 : 如 Maxwell 电磁方程可用四元数以极其简洁的形式表达 . 八元数 O 是一种非结合代数 . 它分别于 1844 年由 J . I. Graves 和 1845 年由 A . Cayley 分别独 立发现 , 八元数亦称之为 Cayley 代数 . 八元数的自同构群是紧李群 G 2 , 其李代数按 Cartan 分类是 G2 型的 14 维单李代数 . G2 在 R 7 中单位球面上的作用是可迁的 , 具有迷向群 SU ( 3) . 在物理 上 , SU ( 3) 是不同家族的粒子的内部对称群 , 这些粒子包括 quarks , baryons , mesons 等 .

八元数被用于非对称的张量规范场理论的研究[ 6] . 八元数在物理和数学上的应用亦正逐 渐被人们所认识 . 1995 年以来 , 我们开始研究八元数分析问题 , 推广了 R . Futer 等人的理论[ 7] , 建立基本的理论框架 . 定义 1 [ 5] [ 5 ] : 实数 R 、 复数 C 、四元数 H 、八元数 O. 关于乘法 R 和 C 是交换的结合的代数 , H 是不交换但结  域 F 上的向量空间 A 称之为非结合代数 , 若其具有双线性二元积( x , y) ※xy 满足 : ( x 1 +x 2) y =x 1 y +x 2 y , x( y 1 +y 2) =xy 1 +xy 2 , a ( xy ) = ( ax ) y =x( ay ) , 其中 x , xi , y , y i ∈A , a ∈F . 若 A 非结合代数 , 称[ x , y , z ] = ( xy ) z -x ( yz ) 为结合子 . 定义 2 [ 5]  代数 A 称之为交错的如果对任意的 x , y ∈ A , [ x , x , y ] = 0= [ y , x , x] . [ x , y , z] =[ y , z , x ] =[ z , x , y ] ; [ x , z , y ] =-[ z , x , y ] ; [ y , x , z ] =-[ y , z , x ] ; [ y , x , z ] =-[ z , x , y ] .      

交错代数 A 有以下运算性质 : 对任意的 x , y , z ∈ A , 如下等式成立 : 我们还有重要的 R . Moufang 恒等式[ 1] : ( uvu ) x = u( v( ux ) ) , ( x( uvu) )=( ( xu) v) u , u( xy ) u =( ux) ( yu) .   

八元数作为实数域上的线性空间是一非结合的交错的代数 . 设 e 0 , e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e5 , e 6 , e 7 是其中一组基 , 满足 : eα e0 = e0 eα ( α= 0 , 1 , … , 6 , 7) ;  e α eβ =-δ eγ ( α , β = 1 , 2 , … , 7) , α β +ψ α βγ   

4 华 南 师 范 大 学 学 报( 自 然 科 学 版) 2004 年  

其中 , 当 α =β 时 δ 1; 当α ≠β 时 , δ 0. 当( α , β, γ ) 具有下列形式 α β= α β= ( 1 , 2 , 3) , ( 1 , 4 , 5) , ( 2 , 4 , 6) , ( 3 , 4 , 7) , ( 2 , 5 , 7) , ( 6 , 1 , 7) , ( 5 , 3 , 6) 之一时 , ψ 1 , 而在其它情况下 , ψ 0. 另外 , ψ 关于 α 、β 和 γ 中的任何两个反对称 , 即 α βγ= α βγ= α βγ 交换 α 、β 和 γ 中的任何两个字母的位置 , ψ 取相反的符号 .

例如 : α βγ δ 12 = 0 , δ 11 = 0 , ψ 123 = 1 , ψ 213 =1 , e 1 e 1 =( e 1) =-1 +0 =-1 , e 1 e 2 = 0 +1e 3 = e 3 , e 2 e 1 =- e3 , e2 e 4 = 0 +1 e 6 = e 6 , e 4 e 2 =-e 6 .   

八元数的基元可以写成 1 =e 0 , e 1 , e 2 , e 1 e 2 , e 4 , e 1 e4 , e2 e 4 , ( e1 e 2) e 4 , 以及任意 x ∈ O 可以 表成 x = ( x 0 e 0 +x 1 e1 +x 2 e 2 +x 3 e 3) + ( x 4 e 0 +x 5 e 1 +x 6 e2 +x 7 e 3) e 4 , 其中 x j ∈ R . 在 O 上规定 共轭运算之后 , O 成为可除代数 . 八元数基元之间的乘法表可排成 8 ×8 矩阵[ 5] . 本文的记忆 方法要便捷得多 .

关于八元数分析的有关文献参见文[ 8] ~ [ 12] . 2 3 

伏羲八卦与八元数基元的同构 邵雍以《说卦传》 中的“ 天地定位” 章为先天八卦方位 , “帝出乎震” 章为后天八卦方位 , 认为 汉易中乾南坤北 、 离东坎西的图式乃伏羲所画 , 称为先天图 ; 汉易中离南坎北的图式乃文王之 易 , 是伏羲易的推衍 , 称为后天图 . 邵雍特别推崇先天图 , 以其虽无文字 , 却包含阴阳始终之变 , 天地万物之理 , 是《周易》 的基 本原理 , 先于《周易》 一书而有 , 所以其易学又称为先天学 、 数学 . 邵雍的先天八卦次序图 , 用来 解释八卦形成 , 其中 ,“ 一分为二”( 或“ 加一倍法” 、 “ 四分法”) 着眼于一 、 二 、四 、 八这些数目的变 化关系 . 他认为八卦来源于奇偶二数 , 分为阴 “ —” 、 阳“ -” 两画 ; 阴阳之上各分出一奇一 偶 , 就称为太阳 、太阴 、 少阳 、少阴四象 , 这四象之上再分出一奇一偶 , 就得出八卦 . 这样“ 一分 为二 , 二分为四 , 四分为八” , 就是《周易》 所说的“ 太极生两仪 , 两仪生四象 , 四象生八卦” .

邵雍 确立八卦图次序的过程如图 1 . 邵雍还制有六十四卦方图和圆图 , 用以说明宇宙万 物总是处于阴阳推移的变易过程之中 . 按朱熹的解释 , 圆图重点在于讲阴阳流行 , 方图重点在于讲阴阳定位 . 前者是就时间过程说的 , 后者是就空间方位说的 . 而方 圆合一图可以说是宇宙的时空模型 , 用来表示天地万物 和人类的生活都处于此时空模式之中 .
邵雍的先天八卦 图是下面文字和几何图形 、 数字的结合体 : 兑二  离三   震四   巽五  坎六   艮七  坤八 乾一                          

我们知道数学是反映与研究物质的空间形式和数量关系的 , 而先天八卦正是用“ 数” 研究 “ 形” 这一数学思想的根源 . 无独有偶 , 实数 R 、复数 C 、四元数 H 、 八元数 O 的发展过程和其完全类似 . 由实数构成数 对 , 规定实数对的乘法运算规则 , 即可得到复数 . 由复数构成数对 , 规定复数对的乘法运算规 则 , 即可得到四元数 . 同样由四元数构成数对 , 规定四元数对的乘法运算规则 , 即可得到八元 数. 从实数 R 到复数 C , 从复数 C 到四元数 H , 从四元数 H 再到八元数 O , 每一步 , 都是“ 加一 倍法” 的翻版 .

第一篇复数理论的论文是 1763 年由瑞士数学家欧拉( L. Euler) 用俄文发表的 . 复数中“ 虚 数” 概念 , 最早是 1545 年由意大利数学家卡丹( H. Cardan) 提出的 . 而把八元数代数看成 “ 四元 数代数的双倍” 这一思想最早见于 L . E. Dickson 的著作《Liner Algebra》( 1914 年) .

先天八卦次 序的确立过程与数系的扩张过程如此类似 , 这是偶然的巧合 ? 从图 1 中还可以看出 , 在八卦图中 , 阳爻符号“ —” 与阴爻符号“ -” 所代表的含义和名称 与其所在层次有关 . 即层次不同 , 含义有别 . 如在乾卦中 , 阳爻符号“ —” 自下而上分别称之为 “ 阳” 、 “ 太阳” 、 “ 乾” .

如果我们在伏羲八卦与八元数基元之间作如下“ 对应” : 在伏羲八卦中 , 阳 爻符号“ —” 始终对应到 e 0 . 而阴爻符号“ -” 与其所在层次( 自上而下 ) 有关 : “ -” 出现在 第一层 , 则对应到 e 1 ; “ -” 出现在第二层 , 则对应到 e 2 ; “ -” 出现在第三层 , 则对应到 e 4 . 并把每一卦图看成算式 : ( 第一层 ×第二层) ×第三层 . 为方便书写计 , 我们把上述“ 对应” 以横 向写出 , 则得到下列对应格式 :
乾※ ( e0 e 0) e0 , 兑 ※ ( e 1 e 0) e0 , 离 ※ ( e 0 e 2) e0 , 震 ※ ( e 1 e 2) e0 , 巽※ ( e0 e 0) e4 , 坎 ※ ( e 1 e 0) e4 , 艮 ※ ( e 0 e 2) e4 , 坤 ※ ( e 1 e 2) e4 .
按照八元数乘法规则 , 我们有 : ( e 0 e 0) e 0 =e0 , ( e 1 e 0) e 0 =e1 , ( e 0 e 2) e 0 =e2 , ( e 1 e 2) e 0 =e 3 , ( e 0 e 0) e 4 =e4 , ( e 1 e 0) e 4 =e4 , ( e 0 e 2) e 4 =e6 , ( e 1 e 2) e 4 =e 7 . 即乾一 、 兑二 、 离三 、震四 、巽五 、坎六 、艮七 、坤八恰好对应到八元数的基元 e 0 、e 1 、e2 、e 3 、e 4 、 e 5 、e 6 、e 7 , 且次序完全一致 .

我们还可说明 : 邵雍确立的六十四卦次序图 , 恰好对应到八元数基 元的乘法表 . 如果我们把“ 八卦相荡” 、 “ 二二相藕” 视为八卦的乘法 , 例如 , 六十四卦中的“ 即 济” 卦为离下坎上规定为 : 即济 = 离 ×坎 . 利用前述的八卦和八元数的对应法则 , 离 ×坎即相 当于八元数的如下之乘法 : [( e 0 e2 ) e 0] × [( e1 e0 ) e4 ] , 施之以于交错代数的运算法则 , 我们有 [( e 0 e 2) e0 ] × [( e 1 e 0) e 4] =e 2 × [ e 1 e 4] =e 2 ×e 5 =e 7 . 依次类推可以验证其余 63 个 . 若略去六 十四卦中的汉字 , 则六十四卦方阵图恰好为八元数的乘法矩阵 .

这就表明 , 从伏羲八卦到八元 数基元的对应还保持乘法运算 . 用数学的语言来讲 , 即为“ 原象” 之间的乘积对应到“ 象” 之间 的乘积 . 也就是说 , 从伏羲八卦到八元数基元的对应是一种“ 同构” . 因此 , 先天八卦符号确实 可以表征八元数的基元 , 二者之间仅仅是记号的不同 . 于是 , 伏羲八卦图可以看成是八元数基 元的“ 几何形式” 或“ 量子化” 或“ 数学模型” , 六十四卦方阵图恰好为八元数的乘法矩阵的“ 几何 形式” 或“ 量子化” 或“ 数学模型” . 伏羲八卦作为易学符号是我国古代文明的产物 , 八元数作为“ 最大” 的数系是西方近代文 明的产物 , 二者何以有如此紧密的联系 ?

易学符号是我国上古先贤们通过对宇宙万事万物的“ 仰观俯察” , 以“ 近取诸身 、远取诸 物” , “ 参天两地 、 观变于阴阳” 等实践手段 , 然后再抽象综合与逻辑归纳而产生的 . 因而 , 易学 符号揭示的是宇宙万物总体的 、 普遍的 、统一的结构运动规律 . 数学是专门研究量 、 量的关系 和量的变化的科学 . 数学所揭示的运算规律普遍存在于各种物质系统及其运动形式之中 . 因 此 , 伏羲八卦所蕴涵的和八元数所反映的都是自然法则 , 二者理当具有一致性 .   

  西方的传统科学以“ 公理化” 为特征 , 中国的传统科学以“ 模型论” 为特征 , 伏羲八卦和八元 数二者相通应是必然的 . 伏羲八卦与八元数的产生可以认为是中西方文化的殊途同归 . 但 是 , 一个重要的事实是 : 八卦图的发明却比八元数的发明早数千年 . 即使从邵雍发明先天八卦 年代算起 , 也比八元数的发明早 800 年 . 由阴 、 阳爻符号组成的八卦的形成充分体现了上古时 代中华民族的智慧 . 而在邵雍时代 , 就能够将八卦及六十四卦排列成如此次序 , 更是奠定了中 华民族在世界数学史上的崇高地位 . 我们有 5000 年的文明史 , 我们曾经非常地辉煌过 , 国人没有理由自卑 . 正是自先秦以至 近代“ 重道轻术” 的传统 、腐朽的社会制度和帝国主义列强的侵略 , 我国才在近几百年由 “ 中心 大国” 衰变为“发展中国家” , 否则 , 我国的数学乃至整个自然科学的水平将会是中华民族以外 的任何民族所不能企及的[ 13] .   致谢 : 作者衷心感谢王忠教授提供的材料和非常有益的讨论 .
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