读【分形几何学】

水风散人

复杂现象的背后往往存在着一些简单的规律；反过来，利用简单的规则，外加一些灵活的约束，可以产生出万花筒般千变万化的复杂现象。
水风按：
与时间和空间的特性密切相关，物质的运动产生了时间，空间的自由度给出了物质变换的可能。

长期持续并不断重复的简单过程也可以产生非常复杂的形状。
水风按：
这种复杂的形状一些内在规律性与时间和空间的特性密切关联。

维数是几何对象的一个重要特征量。直观地说，维数就是为了确定几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标的数目，或者说独立方向的数目。在平直的欧氏空间中，维数是自然的。地图上的点有经度、维度两个坐标，一只集装箱有长、宽、高三个尺寸，它们分别是二维和三维的几何对象。欧氏几何中的这种维数就是拓扑维，用字母d表示。整数维数构成了欧几里德几何学的法则。
水风按：
欧氏结构的拓扑维相对应于先天卦，分形等非线性结构相当于后天卦结构。

一种复杂图形（例如Cantor集合），可以由非常简单的规则（生成规则）经过持续并不断重复的迭代过程（演化过程）而生成。这种简单过程可以生成复杂图形，复杂图形中包含着简单的规则，是理解和应用分析几何学的核心思想。
水风按：
运用这些简单规则就可以还原出复杂图形，也就是说，掌握了这些简单规则就等于掌握了复杂图形。这与易学的象数学一样，易象以一些简单规则就能掌握了事物的复杂演化。

20世纪末期，地球科学正经历着一场质的变化：原来分头描述地球上各种现象的学科，正在系统科学的高度相互结合，成为解释机理、服务预测的“地球系统科学”。
水风按：
学科之间只有无限趋于混沌，才能产生深层的创造之力。

反馈作用的动力学系统与简单线性动力学系统有了很大的不同。当模型中有一个输入时，按照模型中的作用规律，会得到与之相应的输出。这个由输入至输出的过程我们称为一次迭代。反馈的重要意义在于：第一次的输出会成为第二次迭代的输入。其原因（第一次输入）和结果（第一次输出）以及结果（第一次输出）和原因（第二次输入）不再是没有关系的了，而是出现了相互作用。这种反馈机器一次又一次地运转（迭代），就代表了一个动力学过程的发展和演变。
水风按：
可用于大一生水的演化理论、易学的发生学关系等。


水风按：
5次分形后与终极结果的图案基本相似，没有很大的变化。从某方面说明六爻结构是有一定自然基础的。

通过一系列的中间结果，最后达到一种最终结果，而最终结果又与初始条件无关，这种性质在数学上叫做稳定性。
水风按：
模式（或环境）决定了结果，个体的意义无法影响到最终的结果。

用多功能复印机不断地进行复印，不管输入图件如何，都会得到一副一样的图形。这个最终图形就叫做这台多功能复印机的吸引子，也叫做这个迭代过程的吸引子。……吸引子是一个不变量。
水风按：
六十四卦就是迭代吸引子的全景模式。

从数学观点来说，反馈机器的PU最重要的作用使对图形进行适当的数学变换。
水风按：
确立64卦的分形变换模式。

生物学家May在他发表于1976年【自然】杂志上的一篇综述性文章中所论述的，不管线性数学已经发展得多么高，Fourier变换、正交函数，以及它们的回归技巧，都只能给人们一个关于实际大自然普遍存在的非线性的事实之失真形象。如此发展起来的数学直觉会使人们“即使看到离散非线性系统里最简单的古怪行为也会手足无措。”
……May的这段精彩的文字其实是告诫人们面对似乎十分复杂的现象，它的背后未必不是简单的数学模型，而这数学模型的最本质特征就是非线性的相互作用。
水风按：
如果一个简单的模型将线性与非线性都囊括了进去，这个模型就非常不简单了。

自然界中许多事物之间存在着相互作用。这种相互作用的结果，形成了相互作用的几个方面之间的非线性制约，进而出现了多种多样的发展前景。
水风按：
相互作用着各自发展，但不能违背整体的和谐性，不然相互作用一旦崩溃，就会坠入混沌。在混沌边缘要寻找新的相互作用形式，形成新的发展模式，但显然与先前的演化已经截然不同。

短时间内的相互作用，往往是一个方面起优势主导作用，相互作用的结果不明显。然而对于几万年、几百万年的时间尺度，相互作用在长期演化过程中是不容忽视的。
水风按：
存在的相互作用越长，影响越大。

有人说，混沌与分形是过程的科学，而不只是状态的科学；是演化的科学，而不只是存在的科学。
水风按：
分形就是发生学的普遍现象。万物的发生学原理在简单性的一般规则上是相同或近似的。

分形图中的平衡，是一种动态的平衡，一种画面各个部分在变化过程中相互制约的平衡；分形图的和谐是一种数学上的和谐，每一个形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流动，毫无生硬之感；而最特别的是分形的对称，它既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和丰富的变换，它给我们一种纯真的追求野性的美感，一种未开化的，未驯养过的天然情趣。
水风按：
分形展示的是系统或整体上的对称，是信息的对称。