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置换群与易卦 五行及干支的数学模型 ---贾永建

摘要:本文利用数学群论研究易卦的构造,五行的生克,干支的生克冲合。 特别是由群表示论,将五行及干支用复数描述。将五行的运动模型与量子力学 的薛定谔方程比较我们找到其相似点。
关键词:置换群;易卦;五行;复数.

一, 置换群与易卦
对于任意由两个元素组成的集合M={a,b}它的置换群 由下列方式给出:T:
每个下面的元素是上面对应元素的象。以I 表恒等置换,则T 是二阶元素, 即 ,故 是由T 生成的二阶循环群。对应
I 1 T -1
是 到 ={1,-1}的同构。以M 代替周易的阴阳符号集{—,--},对应T 是虞 翻卦变理论中的阴阳换位说,我们有一一对应 :{一,--} .于是以1,-1 代替一,- -可将易卦卦象的构造归结到交换群(Abelian groups)的研究.于是四象对应于 = .其忠实的线性表示为对角矩阵 (diagonal matrix)
, n=1,2
所组成群,我们以 表示,.同样八卦对应于 .它亦可用对角矩阵
= n=1,2, 3.
所组成的群 来表示。依矩阵的行列式为 1 或-1 可将八卦分为阴阳两类,依 迹为 及 分为乾坤及其三子卦:
迹3:乾;迹-1:震,坎,艮;迹-3:坤,迹1:巽,离,兑.
几何上,以三维欧氏空间的向量 表示乾卦,则其在 下的象正是八卦,图形上 是正立方体的八个顶点,以适当的方式把它投影到平面上,就形成伏羲八卦图, 这是虞翻乾坤生六子的数学表示。
六十四卦的形式以上述方式为直积
亦可用对角矩阵群 = 表示,几何上可看作六维欧氏空间 中正多面体的64 个顶点(这是维数大于3 的空间图形,不直观)。

在京房纳甲筮中的八纯卦(见[2]P7)为 它是 的(正规)子群,记 = n= 6,5...2即(女后);同人;履;小畜;大有五卦.倍集 表示本宫;一世;二世; 三世;四世;五世;游魂;归魂.数学上它是商群 的一种排列.

在量子力学中,二全同粒子的置换构成2 阶循环群, 为不可约表示,对应于 1 的粒子其波函数是对称的.而对应于-1 的粒子其波函数是反对称的.(参见 [3]P56)试验表明基本粒子分为两类:自旋为整数的粒子其波函数是对称的,即玻 色子;自旋为半整数的粒子其波函数是反对称的,即费粒子.这在易学上是阴阳分 类。

平面上两坐标的置换为矩阵 ,一般地任一泡利矩阵或狄拉克矩阵([3]pp: 142—143)皆线形群的二阶元素,用它们能构造出许多复杂的卦象。

二 . 五行干支与循环群
置换 表五行相生,于是 为相克, 为反克, 为反生, 为恒等置换.于是 生成 5 阶循环群.其一维不可约表示为复数
即5 次单位根群 .在复平面上做单位圆并排列五行,则 作用在任一点的象 表示 为旺, 为相, 为死, 为囚, 为休五行的五个状态,又可作为兄弟,子孙,妻 财,官鬼,父母的亲情关系.以直积 = 表示阴阳五行及十天干,记 ,其对应列 表如下:
于是因 即在圆周上对经点表示五合,它是商群 的一种表示.令
即12 次单位根群 。以D= 记十二地支:
=酉, =申, =未, =午, =巳, =辰, =卯, =寅, =丑, = 子, =亥, =戌 则 表示 与 相冲,即对经点相冲. = (共轭复数)表示 与 相害. 当 n=1,2, 3 时, 当n=4,5,6时,表示地支相合。特别地, 与 相合, 则二者的虚部相同而实部相反。我们赋予实部与虚部以物质与精神的意义,则 相合相当于夫妻关系。

商群 表示生,旺,库三类,而 表示三合所组成的金,木,水,火四类 (无土).
令 ,n=1`,2 ```5,作D 到六维复向量空间的对应T:D .
T( )=   当n 为偶数时;
甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 +木 -木 +火 -火 +土 -土 +金 -金 +水 -水
T( )=   当n 为奇数时。
则八卦纳支就是对应T(戌):乾,震;T(子):坎;T(寅):艮;T (未):坤;T(巳):兑;T(卯):离;T(丑):巽。

至于纳甲筮法中八卦,地支到五行的对应及其合理性,是刘大鈞先生[2] 提出的问题,可另行讨论。

三,五行与波函数
令 n=0, 。我们称之为五行运动模型,它满足微分方程
t R
(1)
这里c=n/5 。考虑量子力学中的定态系统,设波函数 是哈密顿算符 的一 本征函数,并设 为其本征值,我们有
(2)
于是波函数 是(1)型方程(此时成为薛定谔方程)的解,此时c= /h, 而h 为普朗克常数。两个c 比较,如果选取某n 与 看成同一级,则两者之比为 级。我们在第一部分指出易卦的形成是维数思维,六个爻位相当于有六个本征 函数,而量子力学的力学量则在无穷维空间中表示。数值上阴阳的2 五行的5 地支的12 是量子力学中的n 阶旋转的特例,而易卦的6 维空间反射则超出了量 子力学的3 维空间。但3 维空间的旋转-反射群是八卦与n 旋转的同时运用。这 些变换保持(2)型的方程不变。

参考文献
[1]赫尔 M。群论 科学出版社 1981
[2]刘大钧 纳甲筮法 齐鲁书社 1995
[3]范 德 瓦尔登 B L 群论与量子力学 1980
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